Chapter 8 - Independence, Basis, and Dimension for Subspaces of (R^n)

Section 8.5 - The Gram-Schmidt Orthonormalization Process

Example 8.5.1

(Subscript[w, 1])={5,-2,9};(Subscript[w, 2])={-3,7,1};

v={4,8,-15};

(Subscript[q, 1])=(Subscript[w, 1]);

(Subscript[q, 2])=(Subscript[w, 2])-((Subscript[w, 2]).(Subscript[q, 1])/(Subscript[q, 1]).(Subscript[q, 1])) (Subscript[q, 1])

(Subscript[q, 1]).(Subscript[q, 2])

(Subscript[p, 1])=(Subscript[q, 1])/Norm[(Subscript[q, 1])]

(Subscript[p, 2])=(Subscript[q, 2])/Norm[(Subscript[q, 2])]

ProjvOntoS=Simplify[(v.(Subscript[p, 1])) (Subscript[p, 1])+(v.(Subscript[p, 2])) (Subscript[p, 2])]

Example 8.5.2

(Subscript[w, 1])={1,-2,1,0,1};(Subscript[w, 2])={-2,-2,0,2,7};

(Subscript[w, 3])={4,1,2,0,3};(Subscript[w, 4])={-1,0,0,0,1};

RowReduce[{(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3]),(Subscript[w, 4])}]//MatrixForm

For[k=1,k≤4,k=k+1,
(Subscript[q, k])=Simplify[(Subscript[w, k])-Sum[((Subscript[w, k]).(Subscript[q, j])/((Norm[(Subscript[q, j])])^2)) (Subscript[q, j]),{j,1,k-1}]];
(Subscript[p, k])=(Subscript[q, k])/Norm[(Subscript[q, k])];];

List[(Subscript[q, 1]),(Subscript[q, 2]),(Subscript[q, 3]),(Subscript[q, 4])]

List[(Subscript[p, 1]),(Subscript[p, 2]),(Subscript[p, 3]),(Subscript[p, 4])]

W=ConstantArray[0,{4,4}]

For[k=1,k≤4,k=k+1,
For[j=1,j≤4,j=j+1,
W[[k,j]]=Simplify[(Subscript[p, k]).(Subscript[p, j])];];];

W//MatrixForm

Example 8.5.2 continued...

For[k=1,k≤4,k=k+1,
(Subscript[s, k])=Simplify[(Subscript[w, k])-Sum[((Subscript[w, k]).(Subscript[s, j])) (Subscript[s, j]),{j,1,k-1}]];
(Subscript[s, k])=(Subscript[s, k])/Norm[(Subscript[s, k])];];

List[(Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[s, 4])]