Chapter 9 - Linear Maps from (R^n) to (R^m)

Section 9.4 - Change of Bases for the Matrix Representation of a Linear Map

Example 9.4.2

T[{x_,y_,z_}]:={5x−3y+2z,x−y−z,−7x+z,6y−11z,8x+y−5z};

(Subscript[v, 1])={-1,5,2};(Subscript[v, 2])={3,-4,7};(Subscript[v, 3])={8,1,-9};

T[(Subscript[v, 1])]

(Subscript[w, 1])={1,-1,3,-2,5};(Subscript[w, 2])={-4,2,0,1,-3};(Subscript[w, 3])={-2,1,5,-7,2};

(Subscript[w, 4])={0,9,1,-2,1};(Subscript[w, 5])={6,8,1,-1,-3};

(W=Transpose[{(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3]),(Subscript[w, 4]),(Subscript[w, 5])}])//MatrixForm

(TV=Transpose[{T[(Subscript[v, 1])],T[(Subscript[v, 2])],T[(Subscript[v, 3])]}])//MatrixForm

(APrime=Inverse[W].TV)//MatrixForm

(C1=APrime.{{1},{0},{0}})//MatrixForm

C1[[1,1]] (Subscript[w, 1])+C1[[2,1]] (Subscript[w, 2])+C1[[3,1]] (Subscript[w, 3])+C1[[4,1]] (Subscript[w, 4])+C1[[5,1]] (Subscript[w, 5])

T[(Subscript[v, 1])]

(C2=APrime.{{0},{1},{0}})//MatrixForm

C2[[1,1]] (Subscript[w, 1])+C2[[2,1]] (Subscript[w, 2])+C2[[3,1]] (Subscript[w, 3])+C2[[4,1]] (Subscript[w, 4])+C2[[5,1]] (Subscript[w, 5])

T[(Subscript[v, 2])]

(C3=APrime.{{0},{0},{1}})//MatrixForm

C3[[1,1]] (Subscript[w, 1])+C3[[2,1]] (Subscript[w, 2])+C3[[3,1]] (Subscript[w, 3])+C3[[4,1]] (Subscript[w, 4])+C3[[5,1]] (Subscript[w, 5])

T[(Subscript[v, 3])]

(A=Transpose[{T[{1,0,0}],T[{0,1,0}],T[{0,0,1}]}])//MatrixForm

(V=Transpose[{(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}])//MatrixForm

A.V//MatrixForm

(TV-A.V)//MatrixForm

(NewAPrime=Inverse[W].A.V)//MatrixForm

(NewAPrime-APrime)//MatrixForm